我会在维加斯,努力赢众议院



事实上,我要带着我的家人和一些朋友去那里,包括两个概率学家(我是说专业人士,我只是一个业余爱好者),带着这个难以置信的挑战:我能说服概率学家去赌场玩吗?

实际上,我也想仔细研究它们,了解我们应该如何发挥最佳状态。例如,我希望我能让他们玩轮盘赌。轮盘赌很简单。用法国(或欧洲)轮盘赌,这可能是最简单的:如果我下注黑色,如果18个黑色数字中有一个不在,我就赢;如果18个红色数字中有一个不在,或者零(绿色)不在,我就输。这给出了18/37的获胜概率,即48.64%的概率。但是在拉斯维加斯,我认为在赌场里可以找到的主要是美国轮盘赌,其中有一个零和一个双零(两者都对银行有利)。这里,获胜的概率是18/38,即47.36%的概率。这两个肉卷是

现在,让我们讨论一下最佳策略。例如,假设我带着最初的财富去了拉斯维加斯(比如100美元)。目标是找到最大化离开拉斯维加斯概率的策略http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?2s(这里是200美元)。我应该玩大的,还是小的?

假设我可以打赌http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x(为了方便起见,这将是)。很有可能http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p,我会得到http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?2x很有可能http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?1-p,我会得到http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?0(并失去我的http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x)。如上所述,http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p小于50%。赌场必须赢(实际上,我们会看到这个假设对策略有很大的影响)。

假设我的目标是把我的初始金额翻倍,就像这篇文章的引言中提到的那样。也许有一个最佳值http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x,以最大化我的赌注翻倍的概率。简单地说,游戏结束要么是因为我没有,要么是因为我做到了,设法让我最初的财富翻了一番……进一步假设http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x是固定的,我不会修改我的赌注。人们可以使用蒙特卡罗模拟,得到一个直观的想法…

> bet=function(s=1,t=2*s,x=s/4,p=.4736,nsim=100000){
+     vp=rep(0,nsim); #vw=s
+     for(i in 1:nsim){
+       w=s;
+       while((w>0)&(w<t)){
+          ux=sample(c(min(x,t-w),-x),size=1,prob=c(p,1-p))
+          w=w+ux
+       }
+       vp[i]=(w>=t)}
+     return(mean(vp))
+ }

如果我们把这个概率绘制成,我们有以下

> BET=function(x) bet(x=x)
> vx=1/(1:20)
> px= Vectorize(BET)(vx)
> plot(vx,px,log="x")

让我们看看我们是否能做数学,并实际计算这些概率。

例如,如果http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x%20=%20s,我玩我所有的东西,我有双倍的概率http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p。那个很简单。事实上,在上图中,右边的点是概率http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p(红色水平线)。

现在假设我可以打赌http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x%20=%20s%20/%202,而我将至少打两轮

  • 很有可能我将输掉两轮(游戏结束)
  • 很有可能,我将赢得这两轮,并且我加倍下注(游戏也结束了)
  • 很有可能,我会输一次,加倍一次。无论如何,我会发现自己又拥有了最初的财富。所以游戏会重新开始…

简而言之,我收入翻倍的可能性是

这是

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p%20^%202%20\left%20(1%20+2%20p%20(1-p)%20+%20[2p%20(1-p)>%20^%202%20+%20\cdots%20\right)%20=%20\frac%20{p%20^%202}%20{1-2p%20(1-p)}

让我们尝试一些更普遍的东西:我有初始财富,我敢打赌http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x目标是达到(或者更一般地说,)。现在,可能性达到下注(总是)http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?x与到达的概率完全相同只赌1英镑。让表示离开的概率下注1(让我们使用通用参数)。我们可以很容易地得到下面的等式

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?P_b(a)%20=%20p\cdot%20P_b(a+1)%20+%20(1-p)%20\cdot%20P_b(a-1)

因此,我们可以写

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?p\cdot%20(P_b(a+1)-P_b(a))%20=%20(1-p)\cdot%20(P_b(a)-P_b(a-1))

或者等效地

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?(P_b(a+1)-P_b(a))%20=\frac{1-p}{p}\cdot%20(P_b(a)-P_b(a-1))

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?\left(\frac{1-p}{p}\right)^a\cdot%20(P_b(1)-P_b(0))

现在,观察一下http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?P_b(0)=0(因为没有钱我就没有收益)。

让我们写吧http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?P_b(a+1)-P_b(0)使用多米诺技术:

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?[P_b(a+1)-P_b(a)>+[P_b(a)-P_b(a-1)]+\cdots+[P_b(1)-P_b(0)]

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?\left(\frac{1-p}{p}\right)^a%20P_b(1)+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{a-1}%20P_b(1)+\cdots+%20\left(\frac{1-p}{p}\right)^0%20P_b(1)

所以这个几何和也可以写成

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right>^{a+1}%20\right)%20\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right]%20\right)^{-1}

最后,我们可以写

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?P_b(a)=\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right>^{a}%20\right)\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right]%20\right)^{-1}\cdot%20P_b(1)

这里,还有这一点我必须明确。想法是观察,因此

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?P_b(a)=\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right>^{a}%20\right)\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right]^{b}%20\right)^{-1}

所以最后,

http://latex.codecogs.com/gif.latex%20?\mathbb{P}(gain)=\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right>^{s/x}%20\right)\left(1%20-\left[\frac{1-p}{p}\right]^{2s/x}%20\right)^{-1}

很好,不是吗?但说实话,这里没有什么新鲜事。这实际上是一个古老的定理Christiaan Huygens在1657年,然后扩展到Jacob Bernoulli终于在1680年由Abraham de Moivre1711年。可以绘制这个图,作为的函数,

> bet2=function(s=1,t=2*s,x=s/4,p=.4736){
+     vp=(1-((1-p)/p)^(s/x))/(1-((1-p)/p)^(t/x))
+     return(vp)
+ }

该图与蒙特卡洛模拟图相同(希望如此)。仔细观察上面的函数,发现概率随着。这是有道理的……此外,概率随着:越饿,我赢的机会就越小。

现在,有趣的部分是上面的图表:较小的(每轮赌注的大小),赢的机会越少:如果我想赢,重要的是不要玩小玩家游戏!我必须拿我所有的一切打赌!实际上,有趣的是,如果获胜的概率(稍微)大于1/2,相反,我应该尽可能小的下注

到目前为止,没有什么新东西。这篇文章中提到的每一件事都与莱斯特·杜宾斯和伦纳德·萨维奇的一个基本结果有关如果必须,如何赌博:随机过程的不等式”(1965年出版),另见Sudderth (1972)。当然,我可以尝试另一种策略,有点不太合理,我认为,这有时被称为达朗贝尔的鞅。我更相信运气而不是巧合,所以,当我赢了,我会放弃我的赌注(不要冒险),但当我输了,我会增加我的赌注(总有一天我会赢)。但是让我们把它留到以后的某一天…

这又是一个理论。我想我们应该试试,看看它是如何工作的。在旅途中,我会试着在博客上上传照片,所以如果到八月初博客上还没有发布任何东西,请派一个救援队到贝拉焦来救我…